TEORIA DE CONJUNTOS

La Teoría de Conjuntos es una teoría matemática, que estudia objetos llamados conjuntos y algunas veces, a otros objetos denominados no conjuntos, así como a los problemas relacionados con estos.

Intuitiva e informalmente los objetos de estudio de la Teoría de Conjuntos quedan descritos así:

1. Si x no tiene elementos, entonces x es un objeto de la Teoría de Conjuntos.
2. Si x es un conjunto, entonces x es un objeto de la Teoría de Conjuntos.
3. Los únicos objetos de la Teoría de Conjuntos son los descritos en 1 y 2.

MEMBRESIA

Los conjuntos se denotan por letras mayúsculas : A, B, C,... por ejemplo:

A={ a, c, b }

B={ primavera, verano, otoño, invierno }

El símbolo Î indicará que un elemento pertenece o es miembro de un conjunto.

SUBCONJUNTO

Sean los conjuntos A={ 0, 1, 2, 3, 5, 8 } y B={ 1, 2, 5 }

En este caso decimos que B esta contenido en A, o que B es subconjunto de A. En general si A y B son dos conjuntos cualesquiera, decimos que B es un subconjunto de A si todo elemento de B lo es de A también.

UNIVERSO O CONJUNTO UNIVERSAL

El conjunto que contiene a todos los elementos a los que se hace referencia recibe el nombre de conjunto Universal, este conjunto depende del problema que se estudia, se denota con la letra U y algunas veces con la letra S (espacio muestral).

UNION

La unión de dos conjuntos A y B la denotaremos por A È B y es el conjunto formado por los elementos que pertenecen al menos a uno de ellos ó a los dos. Lo que se denota por:

A È B = { x/x Î A ó x Î B }

INTERSECCION

Sean A={ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9 } y B={ 2, 4, 8, 12 }

Los elementos comunes a los dos conjuntos son: { 2, 4, 8 }. A este conjunto se le llama intersección de A y B; y se denota por A Ç B, algebraicamente se escribe así:

A Ç B = { x/x Î A y x Î B }

Y se lee el conjunto de elementos x que están en A y están en B.

Ejemplo:

Sean Q={ a, n, p, y, q, s, r, o, b, k } y P={ l, u, a, o, s, r, b, v, y, z }

Q Ç P={ a, b, o, r, s, y }

CONJUNTO VACIO

Un conjunto que no tiene elementos es llamado conjunto vacío ó conjunto nulo lo que denotamos por el símbolo Æ .

CONJUNTOS AJENOS

Sí la intersección de dos conjuntos es igual al conjunto vacío, entonces a estos conjuntos les llamaremos conjuntos ajenos, es decir:

Si A Ç B = Æ entonces A y B son ajenos.

COMPLEMENTO

El complemento de un conjunto respecto al universo U es el conjunto de elementos de U que no pertenecen a A y se denota como A' y que se representa por comprehensión como:

A'={ x Î U/x y x Ï A }

DIFERENCIA

Sean A y B dos conjuntos. La diferencia de A y B se denota por A-B y es el conjunto de los elementos de A que no están en B y se representa por comprehensión como:

A - B={ x/x Î A ; X Ï B }

DIAGRAMAS DE VENN

Los diagramas de Venn que de deben al filósofo inglés John Venn (1834-1883) sirven para encontrar relaciones entre conjuntos de manera gráfica mediante dibujos ó diagramas.

Un ejemplo de la representación del conjunto universal se muestra como:

Los conjuntos se representan por medio de dibujos dentro del rectángulo, los aspectos de interés se resaltan sombreando las áreas respectivas. En el caso de este curso las indicaremos por medio de un color azul por ejemplo:

Combinaciones:

Las combinaciones son aquellas formas de agrupar los elementos de un conjunto teniendo en cuenta que:

·       No influye el orden en que se colocan.

·       Si permitimos que se repitan los elementos, podemos hacerlo hasta tantas veces como elementos tenga la agrupación:

Existen  dos tipos: Combinaciones sin repetición y combinaciones con repetición

Permutaciones:

Las permutaciones son aquellas formas de agrupar los elementos de un conjunto teniendo en cuenta que:

·       Influye el orden en que se colocan.

·       Tomamos todos los elementos de que se disponen.

·       Serán permutaciones sin repetición cuando todos los elementos de que disponemos son distintos.

·       Serán permutaciones con repetición si disponemos de elementos repetidos. (ese es el nº de vaces que se repite elemento en cuestión).

Es por ello que también se llaman ordenaciones.

EJEMPLO DE PERMUTACIÓN

15.- ¿Cuantos equipos de futbol americano pueden formarse con 11 jugadores si cada uno puede jugar en cualquier posicion?

R= P(11,11) + P(11,11)= 79,833,600

EJEMPLO DE COMBINACIÓN

6.- ¿ En cuantas formas puede seleccionarse un destacamiento de 6 elementos entre 20 soldados?

R= C (16,4)=1820

CRITERIOS DE PROBABILIDAD:

La probabilidad es una medición numérica que va de 0 a 1 de la posibilidad de que un evento ocurra. 

Tipos de sucesos

• Exhaustivo: se dice que dos o más sucesos son exhaustivos si se consideran todos los posibles resultados.

• No exhaustivos: se dice que dos o más sucesos son exhaustivos si no cubren todos los posibles resultados.
• Mutuamente excluyentes: sucesos que no pueden ocurrir en forma simultánea:

Ejemplo: hombres, mujeres

• No mutuamente excluyentes: sucesos que pueden ocurrir en forma simultánea:

Ejemplo: hombres, ojos cafés

• Independientes: Sucesos cuya probabilidad no se ve afectada por la ocurrencia o no ocurrencia del otro :

Ejemplo: sexo y color de ojos

• Dependientes: sucesos cuya probabilidad cambia dependiendo de la ocurrencia o no ocurrencia del otro: